Интегрирование по частям

Содержание

  1. Формула
  2. Как получилась эта формула?
  3. Интегралы, берущиеся по частям
    1. 1 род
    2. 2 род
  4. Примеры
    1. Пример 1
    2. Пример 2
    3. Пример 3

Формула

udv=uvvdu\int udv = uv - \int vdu

Как получилась эта формула?

Рассмотрим следующий дифференциал: d(uv)d(uv)

Как известно, d(uv)=vdu+udvd(uv) = vdu + udv (производная произведения, записанная с помощью дифференциалов).

Проинтегрируем: d(uv)=vdu+udv\int d(uv) = \int vdu + \int udv

По 1 свойству d(uv)=uv\int d(uv) = uv

Следовательно, udv=uvvdu\int udv = uv - \int vdu

Интегралы, берущиеся по частям

1 род

P(x)sinβxdx\int{P(x)\sin{\beta x} dx} P(x)cosβxdx\int{P(x)\cos{\beta x} dx} P(x)aβxdx\int{P(x)a^{\beta x} dx} P(x)eβxdx\int{P(x)e^{\beta x} dx}

В данных интегралах за uu нужно брать многочлен P(x)P(x), а в качестве dvdv нужно брать всё остальное, то есть функцию и dxdx.

2 род

arcsinxP(x)dx\int{arcsin{x} P(x) dx} arctgxP(x)dx\int{arctg{x} P(x) dx} logaxP(x)dx\int{\log_a{x} P(x) dx} ln(x)nP(x)dx\int{\ln(x)^n P(x) dx}

В данных интегралах за dvdv следует брать многочлен P(x)dxP(x) dx, а в качестве uu нужно брать функцию.

Примеры

Пример 1

Решим интеграл x3xdx\int{x 3^x dx}. x3xdx=[u=xdu=dxdv=3xdxv=3xln3]=x3xln33xln3dx=x3xln33x(ln3)2+C\int{x 3^x dx} = \left[ \begin{array}{ll} u=x & du = dx \\ dv = 3^{x}dx & v=\frac{3^x}{\ln{3}} \end{array} \right] = \frac{x 3^x}{\ln{3}} - \int{\frac{3^x}{\ln{3}} dx} = \frac{x 3^x}{\ln{3}} - \frac{3^x}{(\ln{3})^2} + C

Пример 2

Решим интеграл lnxdx\int{\ln{x} dx} lnxdx=[u=lnxdu=dxxdv=dxv=x]=xlnxxdxx=xlnxx+C\int{\ln{x} dx} = \left[ \begin{array}{ll} u=\ln{x} & du = \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v=x \end{array} \right] = x \ln{x} - \int{\frac{xdx}{x}} = x \ln{x} - x + C

Пример 3

Решим интеграл x3+2x2+3x+3x4exdx\int{\frac{x^3+2x^2+3x+3}{x^4} e^{-x} dx}

Разложим на сумму интегралов. x3+2x2+3x+3x4exdx=exxdx+2exx2dx+3exx3dx+3exx4dx\int{\frac{x^3+2x^2+3x+3}{x^4} e^{-x} dx} = \int{\frac{e^{-x}}{x}dx} + 2 \int{\frac{e^{-x}}{x^2} dx} + 3 \int{\frac{e^{-x}}{x^3} dx} + 3 \int{\frac{e^{-x}}{x^4} dx}

Интегрируем первый интеграл в получившейся сумме по частям. exxdx=[u=1xdu=dxx2dv=exdxv=ex]=exxexx2dx\int{\frac{e^{-x}}{x} dx} = \left[ \begin{array}{ll} u=\frac{1}{x} & du = - \frac{dx}{x^2} \\ dv = e^{-x} dx & v=-e^{-x} \end{array} \right] = -\frac{e^{-x}}{x} - \int{\frac{e^{-x}}{x^2} dx}

Замечаем, что получившийся интеграл совпадает со вторым слагаемым в разложении исходного интеграла на сумму.

Берём этот интеграл по частям ещё раз. exx2dx=[u=1x2du=2x3dxdv=exdxv=ex]=exx22exx3dx\int{\frac{e^{-x}}{x^2} dx} = \left[ \begin{array}{ll} u=\frac{1}{x^2} & du = - \frac{2}{x^3}dx \\ dv = e^{-x} dx & v=-e^{-x} \end{array} \right] = -\frac{e^{-x}}{x^2} - 2\int{\frac{e^{-x}}{x^3} dx}

Опять же, получившийся интеграл совпадает с третьим слагаемым в разложении исходного интеграла на сумму.

Берём этот интеграл по частям ещё раз. exx3dx=[u=1x3du=3x4dxdv=exdxv=ex]=exx33exx4dx\int{\frac{e^{-x}}{x^3} dx} = \left[ \begin{array}{ll} u=\frac{1}{x^3} & du = - \frac{3}{x^4}dx \\ dv = e^{-x} dx & v=-e^{-x} \end{array} \right] = -\frac{e^{-x}}{x^3} - 3\int{\frac{e^{-x}}{x^4} dx}

Мы видим, что чем дальше мы интегрируем по частям, тем больше растёт степень xx.

Получившийся интеграл также совпадает с последним слагаемым в разложении исходного интеграла на сумму.

Обозначим буквой II следующий интеграл: I=exx4dxI = \int{\frac{e^{-x}}{x^4} dx}

Тогда: exx3dx=exx33I\int{\frac{e^{-x}}{x^3} dx} = -\frac{e^{-x}}{x^3} - 3I exx2dx=exx22(exx33I)=exx2+2exx3+6I\int{\frac{e^{-x}}{x^2} dx} = -\frac{e^{-x}}{x^2} - 2(-\frac{e^{-x}}{x^3} - 3I) = -\frac{e^{-x}}{x^2} + \frac{2e^{-x}}{x^3} + 6I exxdx=exx(exx2+2exx3+6I)=exx+exx22exx36I\int{\frac{e^{-x}}{x} dx} = -\frac{e^{-x}}{x} -(-\frac{e^{-x}}{x^2} + \frac{2e^{-x}}{x^3} + 6I) = -\frac{e^{-x}}{x} + \frac{e^{-x}}{x^2} - 2\frac{e^{-x}}{x^3} - 6I

Вернёмся к исходному интегралу. x3+2x2+3x+3x4exdx=exx+exx22exx36I+2(exx2+2exx3+6I)+3(exx33I)+3I\int{\frac{x^3+2x^2+3x+3}{x^4} e^{-x} dx} = \\ -\frac{e^{-x}}{x} + \frac{e^{-x}}{x^2} - 2\frac{e^{-x}}{x^3} - 6I + 2(-\frac{e^{-x}}{x^2} + 2\frac{e^{-x}}{x^3} + 6I) + 3(-\frac{e^{-x}}{x^3} - 3I) + 3I

Упрощаем полученное выражение - при этом все II сокращаются.

Таким образом, получаем ответ: x3+2x2+3x+3x4exdx=exxexx2exx3+C\int{\frac{x^3+2x^2+3x+3}{x^4} e^{-x} dx} = -\frac{e^{-x}}{x} - \frac{e^{-x}}{x^2} - \frac{e^{-x}}{x^3} + C


Copyright © 2019 — 2023 Alexander Mayorov. All rights reserved.