Содержание
- Формула
- Как получилась эта формула?
- Интегралы, берущиеся по частям
- 1 род
- 2 род
- Примеры
- Пример 1
- Пример 2
- Пример 3
Формула
∫udv=uv−∫vduКак получилась эта формула?
Рассмотрим следующий дифференциал: d(uv)
Как известно, d(uv)=vdu+udv (производная произведения, записанная с помощью дифференциалов).
Проинтегрируем: ∫d(uv)=∫vdu+∫udv
По 1 свойству ∫d(uv)=uv
Следовательно, ∫udv=uv−∫vdu
Интегралы, берущиеся по частям
1 род
∫P(x)sinβxdx ∫P(x)cosβxdx ∫P(x)aβxdx ∫P(x)eβxdxВ данных интегралах за u нужно брать многочлен P(x), а в качестве dv нужно брать всё остальное, то есть функцию и dx.
2 род
∫arcsinxP(x)dx ∫arctgxP(x)dx ∫logaxP(x)dx ∫ln(x)nP(x)dxВ данных интегралах за dv следует брать многочлен P(x)dx, а в качестве u нужно брать функцию.
Примеры
Пример 1
Решим интеграл ∫x3xdx. ∫x3xdx=[u=xdv=3xdxdu=dxv=ln33x]=ln3x3x−∫ln33xdx=ln3x3x−(ln3)23x+C
Пример 2
Решим интеграл ∫lnxdx ∫lnxdx=[u=lnxdv=dxdu=xdxv=x]=xlnx−∫xxdx=xlnx−x+C
Пример 3
Решим интеграл ∫x4x3+2x2+3x+3e−xdx
Разложим на сумму интегралов. ∫x4x3+2x2+3x+3e−xdx=∫xe−xdx+2∫x2e−xdx+3∫x3e−xdx+3∫x4e−xdx
Интегрируем первый интеграл в получившейся сумме по частям. ∫xe−xdx=[u=x1dv=e−xdxdu=−x2dxv=−e−x]=−xe−x−∫x2e−xdx
Замечаем, что получившийся интеграл совпадает со вторым слагаемым в разложении исходного интеграла на сумму.
Берём этот интеграл по частям ещё раз. ∫x2e−xdx=[u=x21dv=e−xdxdu=−x32dxv=−e−x]=−x2e−x−2∫x3e−xdx
Опять же, получившийся интеграл совпадает с третьим слагаемым в разложении исходного интеграла на сумму.
Берём этот интеграл по частям ещё раз. ∫x3e−xdx=[u=x31dv=e−xdxdu=−x43dxv=−e−x]=−x3e−x−3∫x4e−xdx
Мы видим, что чем дальше мы интегрируем по частям, тем больше растёт степень x.
Получившийся интеграл также совпадает с последним слагаемым в разложении исходного интеграла на сумму.
Обозначим буквой I следующий интеграл: I=∫x4e−xdx
Тогда: ∫x3e−xdx=−x3e−x−3I ∫x2e−xdx=−x2e−x−2(−x3e−x−3I)=−x2e−x+x32e−x+6I ∫xe−xdx=−xe−x−(−x2e−x+x32e−x+6I)=−xe−x+x2e−x−2x3e−x−6I
Вернёмся к исходному интегралу. ∫x4x3+2x2+3x+3e−xdx=−xe−x+x2e−x−2x3e−x−6I+2(−x2e−x+2x3e−x+6I)+3(−x3e−x−3I)+3I
Упрощаем полученное выражение - при этом все I сокращаются.
Таким образом, получаем ответ: ∫x4x3+2x2+3x+3e−xdx=−xe−x−x2e−x−x3e−x+C