Неопределённый интеграл

Содержание

1. Первообразная
2. Определение
3. Свойства
   1. Свойство 1
      1. Доказательство
   2. Свойство 2
      1. Доказательство
   3. Линейное свойство

Первообразная

$F(x)$ называется первообразной для $f(x)$ на множестве $X$, если $\forall x \in X \space F'(x) = f(x)$

Если $F(x)$ - первообразная функции $f(x)$, то любая функция $F(x) + C$, где $C = const$ также является первообразной.

Множество первообразных исчерпывается функциями вида $F(x) + C$, то есть первообразных у функции бесконечно много с точностью до константы.

Если $F_1(x)$ и $F_2(x)$ - первообразные $f(x)$, тогда $F_1(x) - F_2(x) = C = const$.

Определение

Неопределённым интегралом функции $f(x)$ называют совокупность всех её первообразных. $\int f(x)dx = F(x) + C$

$f(x)dx$ - подынтегральное выражение.

$f(x)$ - подынтегральная функция.

Свойства

Свойство 1

$\int dF(x) = F(x) + C$

где $dF(x)$ - дифференциал функции.

Формула для нахождения дифференциала: $dg(x) = g'(x)dx$ $dg(u) = dg(u(x)) = g'(u)u_x'dx = g'(u)du$

Доказательство

$\int dF(x) = \int F'(x)dx = \int f(x)dx = F(x) + C$

Свойство доказано.

Свойство 2

$d \int f(x)dx = f(x)dx$

Доказательство

$d \int f(x)dx = d(F(x) + C) = (F(x) + C)'dx = (F'(x) + C')dx$ $C' = 0 \Rightarrow (F'(x) + C')dx = F'(x)dx = f(x)dx$

Линейное свойство

Константу $c$ можно выносить за знак интеграла. $\int cf(x)dx = c \int f(x)dx$

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. $\int (f_1(x) + f_2(x))dx = \int f_1(x)dx + \int f_2(x)dx$