Интегрирование по частям

Содержание

1. Формула
2. Как получилась эта формула?
3. Интегралы, берущиеся по частям
   1. 1 род
   2. 2 род
4. Примеры
   1. Пример 1
   2. Пример 2
   3. Пример 3

Формула

$\int udv = uv - \int vdu$

Как получилась эта формула?

Рассмотрим следующий дифференциал: $d(uv)$

Как известно, $d(uv) = vdu + udv$ (производная произведения, записанная с помощью дифференциалов).

Проинтегрируем: $\int d(uv) = \int vdu + \int udv$

По 1 свойству $\int d(uv) = uv$

Следовательно, $\int udv = uv - \int vdu$

Интегралы, берущиеся по частям

1 род

$\int{P(x)\sin{\beta x} dx}$ $\int{P(x)\cos{\beta x} dx}$ $\int{P(x)a^{\beta x} dx}$ $\int{P(x)e^{\beta x} dx}$

В данных интегралах за $u$ нужно брать многочлен $P(x)$, а в качестве $dv$ нужно брать всё остальное, то есть функцию и $dx$.

2 род

$\int{arcsin{x} P(x) dx}$ $\int{arctg{x} P(x) dx}$ $\int{\log_a{x} P(x) dx}$ $\int{\ln(x)^n P(x) dx}$

В данных интегралах за $dv$ следует брать многочлен $P(x) dx$, а в качестве $u$ нужно брать функцию.

Примеры

Пример 1

Решим интеграл $\int{x 3^x dx}$. $\int{x 3^x dx} = \left[ \begin{array}{ll} u=x & du = dx \\ dv = 3^{x}dx & v=\frac{3^x}{\ln{3}} \end{array} \right] = \frac{x 3^x}{\ln{3}} - \int{\frac{3^x}{\ln{3}} dx} = \frac{x 3^x}{\ln{3}} - \frac{3^x}{(\ln{3})^2} + C$

Пример 2

Решим интеграл $\int{\ln{x} dx}$ $\int{\ln{x} dx} = \left[ \begin{array}{ll} u=\ln{x} & du = \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v=x \end{array} \right] = x \ln{x} - \int{\frac{xdx}{x}} = x \ln{x} - x + C$

Пример 3

Решим интеграл $\int{\frac{x^3+2x^2+3x+3}{x^4} e^{-x} dx}$

Разложим на сумму интегралов. $\int{\frac{x^3+2x^2+3x+3}{x^4} e^{-x} dx} = \int{\frac{e^{-x}}{x}dx} + 2 \int{\frac{e^{-x}}{x^2} dx} + 3 \int{\frac{e^{-x}}{x^3} dx} + 3 \int{\frac{e^{-x}}{x^4} dx}$

Интегрируем первый интеграл в получившейся сумме по частям. $\int{\frac{e^{-x}}{x} dx} = \left[ \begin{array}{ll} u=\frac{1}{x} & du = - \frac{dx}{x^2} \\ dv = e^{-x} dx & v=-e^{-x} \end{array} \right] = -\frac{e^{-x}}{x} - \int{\frac{e^{-x}}{x^2} dx}$

Замечаем, что получившийся интеграл совпадает со вторым слагаемым в разложении исходного интеграла на сумму.

Берём этот интеграл по частям ещё раз. $\int{\frac{e^{-x}}{x^2} dx} = \left[ \begin{array}{ll} u=\frac{1}{x^2} & du = - \frac{2}{x^3}dx \\ dv = e^{-x} dx & v=-e^{-x} \end{array} \right] = -\frac{e^{-x}}{x^2} - 2\int{\frac{e^{-x}}{x^3} dx}$

Опять же, получившийся интеграл совпадает с третьим слагаемым в разложении исходного интеграла на сумму.

Берём этот интеграл по частям ещё раз. $\int{\frac{e^{-x}}{x^3} dx} = \left[ \begin{array}{ll} u=\frac{1}{x^3} & du = - \frac{3}{x^4}dx \\ dv = e^{-x} dx & v=-e^{-x} \end{array} \right] = -\frac{e^{-x}}{x^3} - 3\int{\frac{e^{-x}}{x^4} dx}$

Мы видим, что чем дальше мы интегрируем по частям, тем больше растёт степень $x$.

Получившийся интеграл также совпадает с последним слагаемым в разложении исходного интеграла на сумму.

Обозначим буквой $I$ следующий интеграл: $I = \int{\frac{e^{-x}}{x^4} dx}$

Тогда: $\int{\frac{e^{-x}}{x^3} dx} = -\frac{e^{-x}}{x^3} - 3I$ $\int{\frac{e^{-x}}{x^2} dx} = -\frac{e^{-x}}{x^2} - 2(-\frac{e^{-x}}{x^3} - 3I) = -\frac{e^{-x}}{x^2} + \frac{2e^{-x}}{x^3} + 6I$ $\int{\frac{e^{-x}}{x} dx} = -\frac{e^{-x}}{x} -(-\frac{e^{-x}}{x^2} + \frac{2e^{-x}}{x^3} + 6I) = -\frac{e^{-x}}{x} + \frac{e^{-x}}{x^2} - 2\frac{e^{-x}}{x^3} - 6I$

Вернёмся к исходному интегралу. $\int{\frac{x^3+2x^2+3x+3}{x^4} e^{-x} dx} = \\ -\frac{e^{-x}}{x} + \frac{e^{-x}}{x^2} - 2\frac{e^{-x}}{x^3} - 6I + 2(-\frac{e^{-x}}{x^2} + 2\frac{e^{-x}}{x^3} + 6I) + 3(-\frac{e^{-x}}{x^3} - 3I) + 3I$

Упрощаем полученное выражение - при этом все $I$ сокращаются.

Таким образом, получаем ответ: $\int{\frac{x^3+2x^2+3x+3}{x^4} e^{-x} dx} = -\frac{e^{-x}}{x} - \frac{e^{-x}}{x^2} - \frac{e^{-x}}{x^3} + C$