Замена переменной в определённом интеграле

Содержание

1. Определение
2. Пример

Определение

Рассмотрим интеграл $\int_a^b{f(x) dx}$

$f(x)$ непрерывна на $[a, b]$.

Введём новую переменную $t$, которая связана с $x$ через: $x = \varphi(t)$.

Пусть выполняются следующие условия:

1. $\varphi(t)$ непрерывна на $[a, b]$.
2. $\varphi(\alpha) = a$, $\varphi(\beta) = b$.
3. $\varphi'(t)$ непрерывна на $[\alpha, \beta]$.
4. При изменении $t$ от $\alpha$ до $\beta$, $\varphi(t)$ принимает все значения из $[a, b]$.

Тогда справедлива следующая формула. $\int_a^b{f(x)dx} = \int_{\alpha}^{\beta}{f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt}$

Пример

$\int_{2}^{7}{x \sqrt{x+2} dx} = \left[ \begin{array}{ll} x+2=t^2 & x = t^2 - 2 \\ dx = 2tdt \\ x = 2 \Rightarrow t = 2 & x = 7 \Rightarrow t = 3 \end{array} \right] = \\ = 2\int_{2}^{3}{(t^4 - 2t^2) dt} = 2(\frac{3^5}{5} - \frac{2 \times 3^3}{3} - \frac{2^5}{5} + \frac{2 \times 2^3}{3})$