Несобственный интеграл 2 рода

Содержание

1. Определение
2. Геометрический смысл
3. Эталонный интеграл
   1. Доказательство

Определение

Пусть $f(x)$ непрерывна на $[a, c)$ и терпит бесконечный разрыв в точке $c$.

Тогда несобственным интегралом 2 рода или интегралом с бесконечной функцией называется предел: $\int_{a}^{c}{f(x) dx} = \lim_{b \to c - 0}{\int_{a}^{b}{f(x) dx}}$

Если этот предел существует и конечен, несобственный интеграл называется сходящимся.

Если этот предел не существует или бесконечен, несобственный интеграл называется расходящимся.

Функция может терпеть бесконечный разрыв и в нижнем пределе интегрирования. $\int_{c}^{b}{f(x) dx} = \lim_{a \to c + 0}{\int_a^b{f(x) dx}}$

Если точка разрыва $c$ лежит внутри интервала, задаваемого пределами интегрирования, то есть $c \in (a, b)$, такой интеграл нужно разбить на 2 несобственных интеграла 2 рода. $\int_{a}^{b}{f(x) dx} = \int_{a}^{c}{f(x) dx} + \int_{c}^{b}{f(x) dx}$

Этот интеграл сходится тогда, когда оба слагаемых сходятся.

Геометрический смысл

Если $f(x) \ge 0 \space \forall x \in [a, c]$ то несобственный интеграл равен площади бесконечной криволинейной трапеции: $\int_a^c{f(x) dx} = S_{беск.крив.трапец.}$

Эталонный интеграл

Рассмотрим следующий интеграл $\int_a^c{\frac{dx}{(x-c)^m}}$

Он сходится, если $m < 1$.

Он расходится, если $m \ge 1$.

Доказательство

Пусть $m = 1$. Тогда: $\int_a^c{\frac{dx}{x - c}} = \ln{|x - c|}\Big|_a^c = \lim_{x \to c + 0}{\ln |x - c|} - \ln |a - c| = \infty$

Таким образом, при $m = 1$ интеграл расходится.

Пусть $m > 1$. Тогда: $\int_a^c{\frac{dx}{(x - c)^m}} = \frac{(x-c)^{-m + 1}}{-m + 1} \Bigg|_a^c = \frac{1}{(-m + 1)(x-c)^{m - 1}} \Bigg|_a^c = \infty$

Получили бесконечность, следовательно, при $m > 1$ интеграл расходится.

Пусть $m < 1$. Тогда: $\int_a^c{\frac{dx}{(x - c)^m}} = \frac{(x-c)^{-m + 1}}{-m + 1} \Bigg|_a^c = 0 - \frac{(a - c)^{-m + 1}}{-m + 1} = D, D = const$

Поличили конечное число, следовательно при $m < 1$ интеграл сходится.

Сходимость эталонного интеграла доказана.