Несобственный интеграл 1 рода

Содержание

1. Определение
2. Геометрический смысл
3. Эталонный интеграл
   1. Доказательство

Определение

Пусть $f(x)$ непрерывна на $[a, \infty)$.

Тогда несобственным интегралом 1 рода или интегралом с бесконечными пределами интегрирования называется предел: $\int_{a}^{\infty}{f(x) dx} = \lim_{b \to \infty}{\int_{a}^{b}{f(x) dx}}$

Если этот предел существует и конечен, несобственный интеграл называется сходящимся.

Если этот предел не существует или бесконечен, несобственный интеграл называется расходящимся. $\int_a^{\infty}{f(x) dx} = F(x) \Big|_a^{\infty} = \lim_{x \to \infty}{F(x)} - F(a)$

Нижний предел также может быть бесконечным: $\int_{-\infty}^{a}{f(x) dx} = \lim_{b \to -\infty}{\int_a^b{f(x) dx}}$

Оба предела интегрирования могут быть бесконечными - тогда необходимо разбить интеграл на 2 несобственных интеграла 1 рода. $\int_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} = \int_{-\infty}^{c}{f(x) dx} + \int_{c}^{\infty}{f(x) dx}$

Этот интеграл сходится тогда, когда оба слагаемых сходятся.

Геометрический смысл

Если $f(x) \ge 0 \space \forall x \in [a, \infty)$ то несобственный интеграл равен площади бесконечной криволинейной трапеции: $\int_a^{\infty}{f(x) dx} = S_{беск.крив.трапец.}$

Эталонный интеграл

Рассмотрим следующий интеграл $\int_a^{\infty}{\frac{dx}{x^{\alpha}}}$

Он сходится, если $\alpha > 1$.

Он расходится, если $\alpha \le 1$.

Доказательство

Пусть $\alpha = 1$. Тогда: $\int_a^{\infty}{\frac{dx}{x}} = \ln{|x|}\Big|_a^{\infty} = \lim_{x \to \infty}{\ln |x|} - \ln |a| = \infty$

Таким образом, при $\alpha = 1$ интеграл расходится.

Пусть $\alpha > 1$. Тогда: $\int_a^{\infty}{\frac{dx}{x^{\alpha}}} = \int_a^{\infty}{x^{-\alpha} dx} = \frac{x^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} \Bigg|_a^{\infty} = \\ = \frac{1}{(-\alpha + 1)x^{\alpha - 1}} \Bigg|_a^{\infty} = 0 - \frac{1}{(-\alpha + 1)a^{\alpha - 1}} = - \frac{1}{(-\alpha + 1)a^{\alpha - 1}}$

Получили конечное число, следовательно, при $\alpha > 1$ интеграл сходится.

Пусть $\alpha < 1$. Тогда: $\int_a^{\infty}{\frac{dx}{x^{\alpha}}} = \int_a^{\infty}{x^{-\alpha} dx} = \frac{x^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} \Bigg|_a^{\infty} = \\ = \infty - \frac{a^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} = \infty$

Поличили бесконечность, следовательно при $\alpha < 1$ интеграл расходится.

Сходимость эталонного интеграла доказана.