Несобственный интеграл 1 рода
Содержание
- Определение
- Геометрический смысл
- Эталонный интеграл
- Доказательство
Определение
Пусть f(x) непрерывна на [a,∞).
Тогда несобственным интегралом 1 рода или интегралом с бесконечными пределами интегрирования называется предел: ∫a∞f(x)dx=b→∞lim∫abf(x)dx
Если этот предел существует и конечен, несобственный интеграл называется сходящимся.
Если этот предел не существует или бесконечен, несобственный интеграл называется расходящимся. ∫a∞f(x)dx=F(x)∣∣∣∣a∞=x→∞limF(x)−F(a)
Нижний предел также может быть бесконечным: ∫−∞af(x)dx=b→−∞lim∫abf(x)dx
Оба предела интегрирования могут быть бесконечными - тогда необходимо разбить интеграл на 2 несобственных интеграла 1 рода. ∫−∞∞f(x)dx=∫−∞cf(x)dx+∫c∞f(x)dx
Этот интеграл сходится тогда, когда оба слагаемых сходятся.
Геометрический смысл
Если f(x)≥0 ∀x∈[a,∞) то несобственный интеграл равен площади бесконечной криволинейной трапеции: ∫a∞f(x)dx=Sбеск.крив.трапец.
Эталонный интеграл
Рассмотрим следующий интеграл ∫a∞xαdx
Он сходится, если α>1.
Он расходится, если α≤1.
Доказательство
Пусть α=1. Тогда: ∫a∞xdx=ln∣x∣∣∣∣∣a∞=x→∞limln∣x∣−ln∣a∣=∞
Таким образом, при α=1 интеграл расходится.
Пусть α>1. Тогда: ∫a∞xαdx=∫a∞x−αdx=−α+1x−α+1∣∣∣∣∣∣a∞==(−α+1)xα−11∣∣∣∣∣∣a∞=0−(−α+1)aα−11=−(−α+1)aα−11
Получили конечное число, следовательно, при α>1 интеграл сходится.
Пусть α<1. Тогда: ∫a∞xαdx=∫a∞x−αdx=−α+1x−α+1∣∣∣∣∣∣a∞==∞−−α+1a−α+1=∞
Поличили бесконечность, следовательно при α<1 интеграл расходится.
Сходимость эталонного интеграла доказана.