Ряды

Содержание

  1. Числовой ряд
  2. Частичная сумма ряда
  3. Гармонический ряд
  4. Простейшие ряды
    1. Единичный ряд
    2. Знакочередующийся единичный ряд
  5. Геометрический ряд
    1. Сходимость
      1. Доказательство
  6. Свойства сходящихся рядов
    1. Умножение на число
    2. Сумма общих членов
    3. Принцип отбрасывания
      1. Доказательство
  7. Необходимое условие сходимости ряда
  8. Достаточное условие расходимости ряда
    1. Пример

Числовой ряд

Пусть a_1, a_2, \dots, a_n, \dots - последовательность чисел.

Тогда сумма a_1 + a_2 + \dots + a_n + \dots называется числовым рядом, где a_1, a_2, \dots называются членами ряда, а a_n - общий член ряда.

Ряд считается заданным, если определён общий член ряда как функция его номера n: a_n = f(n).

Ряд обозначается:

\sum_{n=1}^{\infty}{a_n} = \sum_{n=1}^{\infty}{f(n)}

Частичная сумма ряда

n-ой частичной суммой ряда называется сумма первых n членов ряда.

Построим последовательность частичных сумм ряда.

S_1 = a_1 \\
S_2 = a_1 + a_2 \\
S_3 = a_1 + a_2 + a_3 \\
\cdots \\
S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм при n \to \infty, то ряд a_n называется сходящимся.

Если предел бесконечный или не существует, ряд называется расходящимся.

Если ряд сходится, то он сходится к сумме ряда S:

\sum_{n = 1}^{\infty}{a_n} = S

Гармонический ряд

Гармоническим называется ряд:

\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} + \dots

Этот ряд расходится.

Простейшие ряды

Единичный ряд

Рассмотрим ряд 1 + 1 + 1 + \dots.

Построим последовательность частичных сумм:

S_1 = 1 \\
S_2 = 2 \\
S_3 = 3 \\
\dots \\
S_n = n
\lim_{n \to \infty}{S_n} = \lim_{n \to \infty}{n} = \infty

Следовательно, ряд расходится.

Знакочередующийся единичный ряд

Рассмотрим ряд 1 - 1 + 1 - 1 + \dots + 1 - \dots.

Построим последовательность частичных сумм:

S_1 = 1 \\
S_2 = 0 \\
S_3 = 1 \\
S_4 = 0 \\
\dots

Предел S_n не существует, следовательно ряд расходится.

Геометрический ряд

Геометрический ряд представляет собой ряд, похожий на геометрическую прогрессию.

\sum_{n = 0}^{\infty}{a q^n} = a + aq + aq^2 + \dots + aq^n + \dots

Сходимость

\sum_{n = 0}^{\infty}{a q^n}

Этот ряд сходится, если \vert q \vert < 1.

Этот ряд расходится, если \vert q \vert \ge 1.

Доказательство

S_n = \frac{b_1 (1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a (1 - q^n)}{1 - q}

Рассмотрим 3 случая:

Пусть \vert q \vert < 1. Тогда q ^ n \to 0 при n \to \infty. Следовательно:

\lim_{n \to \infty}{\frac{a (1 - q^n)}{1 - q}} =
\lim_{n \to \infty}{\frac{a}{1 - q}}

Получили конечное число, значит ряд сходится.

Пусть \vert q \vert > 1. Тогда q^n \to \infty при n \to \infty. Следовательно:

\lim_{n \to \infty}{\frac{a (1 - q^n)}{1 - q}} = \infty

Получили бесконечность, значит ряд расходится.

Пусть \vert q \vert = 1. Тогда мы получаем ряд a + a + a + \dots.

Этот ряд расходится, так как предел последовательности частичных сумм равен \infty (см пример).

Свойства сходящихся рядов

Умножение на число

Если ряд умножить на число, не равное 0, его сходимость не изменится.

\sum_{n = 1}^{\infty}{ka_n} = k\sum_{n = 1}^{\infty}{a_n}

Сумма общих членов

Пусть ряд a_n сходится к сумме A и ряд b_n сходится к сумме B (A и B - конечные числа).

\sum_{n = 1}^{\infty}{a_n} = A \\
\sum_{n = 1}^{\infty}{b_n} = B

Тогда ряд, составленный из суммы общих членов сходится к A + B:

\sum_{n = 1}^{\infty}{(a_n + b_n)} =
\sum_{n = 1}^{\infty}{a_n} + \sum_{n = 1}^{\infty}{b_n} = A + B

Принцип отбрасывания

Рассмотрим следующий ряд:

\sum_{n = 1}^{\infty}{a_n} = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n + \dots

Мы можем отбросить определённое количество первых слагаемых ряда:

\sum_{n = k + 1}^{\infty}{a_n} = a_{k+1} + a_{k+2} + \dots + a_n + \dots

Получившийся ряд называется k-ым остатком ряда.

k-ый остаток ряда и сам ряд имеют одинаковую сходимость.

Доказательство

Пусть \rho_n - n-ая частичная сумма остатка ряда.

\rho_n = a_{k+1} + a_{k+2} + \dots + a_{k+n} = S_{k+n} - S_k

(S_{k+n} - частичная сумма исходного ряда).

По условию ряд a_n сходится, а значит предел частичной суммы исходного ряда равен конечному числу S:

\lim_{n \to \infty}{S_{k + n}} = S

Тогда:

\lim_{n \to \infty}{\rho_n} = \lim_{n \to \infty}{(S_{k+n} - S_k)} = S - S_k

S и S_k - конечные числа, значит ряд сходится.

Необходимое условие сходимости ряда

Если ряд сходится, то a_n \to 0 при n \to \infty, то есть \lim_{n \to \infty}{a_n} = 0.

Это не является достаточным условием сходимости ряда, то есть нельзя сказать, что если общий член стремится к нулю, то ряд сходится.

Достаточное условие расходимости ряда

Если общий член не стремится к 0, ряд расходится.

Пример

Рассмотрим следующий ряд:

\sum_{n = 0}^{\infty}{\frac{2n + 3}{2n + 1}}
\lim_{n \to \infty}{a_n} = \lim_{n \to \infty}{\frac{2n + 3}{2n + 1}} = \Big[\frac{\infty}{\infty} \Big] = \lim_{n \to \infty}{\frac{2}{2}} = 1 \ne 0

Следовательно, ряд расходится.


Copyright © 2019 Александр Майоров. Все права защищены.