Положительные ряды

Содержание

  1. Положительный ряд
  2. Теорема о сходимости
    1. Доказательство
      1. Необходимость
      2. Достаточность
  3. Признаки сходимости

Положительный ряд

Ряд называется положительным, если a_n \ge 0 для любого n.

Последовательность частичных сумм в таких рядах является монотонно возрастающей последовательностью.

S_{n+1} = S_n + a_{n+1} \ge S_n

Теорема о сходимости

Для того, чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм была ограниченной сверху.

Доказательство

Необходимость

Пусть ряд сходится. Тогда существует предел последовательности частичных сумм, равный конечному числу S.

Если предел монотонно возрастающей последовательности равен конечному числу, эта последовательность ограничена сверху.

То есть S_n ограничена сверху, S_n \le S.

Достаточность

Пусть S_n \le S, S_n - монотонно возрастает.

Тогда, по теореме, существует предел последовательности частичных сумм, равный S, а значит, ряд сходится.

Признаки сходимости

(Продолжение следует)


Copyright © 2019 Александр Майоров. Все права защищены.