Положительные ряды

Содержание

1. Положительный ряд
2. Теорема о сходимости
   1. Доказательство
      1. Необходимость
      2. Достаточность
3. Признаки сходимости
   1. Признак сравнения
      1. Доказательство
   2. Предельный признак сравнения
      1. Доказательство

Положительный ряд

Ряд называется положительным, если $a_n \ge 0$ для любого $n$.

Последовательность частичных сумм в таких рядах является монотонно возрастающей последовательностью. $S_{n+1} = S_n + a_{n+1} \ge S_n$

Теорема о сходимости

Для того, чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм была ограниченной сверху.

Доказательство

Необходимость

Пусть ряд сходится. Тогда существует предел последовательности частичных сумм, равный конечному числу $S$.

Если предел монотонно возрастающей последовательности равен конечному числу, эта последовательность ограничена сверху.

То есть $S_n$ ограничена сверху, $S_n \le S$.

Достаточность

Пусть $S_n \le S$, $S_n$ - монотонно возрастает.

Тогда, по теореме, существует предел последовательности частичных сумм, равный $S$, а значит, ряд сходится.

Признаки сходимости

Признак сравнения

Пусть ряды $\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$ и $\sum_{n=1}^{\infty}{b_n}$ положительные и начиная с некоторого $n \ge N$ выполняется неравенство: $a_n \le b_n$.

Тогда:

1. Если $\sum_{n=1}^{\infty}{b_n}$ сходится, то $\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$ сходится.
2. Если $\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$ расходится, то $\sum_{n=1}^{\infty}{b_n}$ расходится.

Доказательство

Обозначим $n$-ые суммы частичных рядов $A_n$ и $B_n$: $A_n \le B_n$

Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}{b_n}$ сходится. Тогда $B_n \le B$.

Следовательно, $A_n \le B_n \le B$, то есть $A_n$ ограничена.

Значит, $\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$ сходится.

Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$ расходится.

Предельный признак сравнения

Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$, $\sum_{n=1}^{\infty}{b_n}$ - положительные ряды.

Если существует предел отношения $a_n$ к $b_n$, не равный нулю, ряды $\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$, $\sum_{n=1}^{\infty}{b_n}$ называются эквивалентными. $\exists \lim_{n \to \infty}{\frac{a_n}{b_n}} = q \ne 0$ Эквивалентные ряды одинаковы в плане сходимости, то есть они либо сходятся одновременно, либо расходятся одновременно.

Доказательство

Известно, что существует предел отношения $a_n$ к $b_n$. Распишем определение этого предела. $\forall \varepsilon > 0, \varepsilon < q \space \exists N_\varepsilon : \forall n > N_\varepsilon \Rightarrow \vert \frac{a_n}{b_n} - q \vert < \varepsilon$ Раскроем модуль: $\vert \frac{a_n}{b_n} - q \vert < \varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon < \frac{a_n}{b_n} - q < \varepsilon$ Ко всем частям неравенства прибавим $q$: $q - \varepsilon < \frac{a_n}{b_n} < \varepsilon + q$ Умножим на $b_n$. $(q - \varepsilon)b_n < a_n < (q + \varepsilon)b_n$