Положительные ряды

Содержание

  1. Положительный ряд
  2. Теорема о сходимости
    1. Доказательство
      1. Необходимость
      2. Достаточность
  3. Признаки сходимости
    1. Признак сравнения
      1. Доказательство
    2. Предельный признак сравнения
      1. Доказательство

Положительный ряд

Ряд называется положительным, если a_n \ge 0 для любого n.

Последовательность частичных сумм в таких рядах является монотонно возрастающей последовательностью.

S_{n+1} = S_n + a_{n+1} \ge S_n

Теорема о сходимости

Для того, чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм была ограниченной сверху.

Доказательство

Необходимость

Пусть ряд сходится. Тогда существует предел последовательности частичных сумм, равный конечному числу S.

Если предел монотонно возрастающей последовательности равен конечному числу, эта последовательность ограничена сверху.

То есть S_n ограничена сверху, S_n \le S.

Достаточность

Пусть S_n \le S, S_n - монотонно возрастает.

Тогда, по теореме, существует предел последовательности частичных сумм, равный S, а значит, ряд сходится.

Признаки сходимости

Признак сравнения

Пусть ряды \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} и \sum_{n=1}^{\infty}{b_n} положительные и начиная с некоторого n \ge N выполняется неравенство: a_n \le b_n.

Тогда:

  1. Если \sum_{n=1}^{\infty}{b_n} сходится, то \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} сходится.
  2. Если \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} расходится, то \sum_{n=1}^{\infty}{b_n} расходится.

Доказательство

Обозначим n-ые суммы частичных рядов A_n и B_n: A_n \le B_n

Пусть \sum_{n=1}^{\infty}{b_n} сходится. Тогда B_n \le B.

Следовательно, A_n \le B_n \le B, то есть A_n ограничена.

Значит, \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} сходится.

Пусть \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} расходится.

Предельный признак сравнения

Пусть \sum_{n=1}^{\infty}{a_n}, \sum_{n=1}^{\infty}{b_n} - положительные ряды.

Если существует предел отношения a_n к b_n, не равный нулю, ряды \sum_{n=1}^{\infty}{a_n}, \sum_{n=1}^{\infty}{b_n} называются эквивалентными. \exists \lim_{n \to \infty}{\frac{a_n}{b_n}} = q \ne 0 Эквивалентные ряды одинаковы в плане сходимости, то есть они либо сходятся одновременно, либо расходятся одновременно.

Доказательство

Известно, что существует предел отношения a_n к b_n. Распишем определение этого предела. \forall \varepsilon > 0, \varepsilon < q \space \exists N_\varepsilon : \forall n > N_\varepsilon \Rightarrow \vert \frac{a_n}{b_n} - q \vert < \varepsilon Раскроем модуль: \vert \frac{a_n}{b_n} - q \vert < \varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon < \frac{a_n}{b_n} - q < \varepsilon Ко всем частям неравенства прибавим q: q - \varepsilon < \frac{a_n}{b_n} < \varepsilon + q Умножим на b_n. (q - \varepsilon)b_n < a_n < (q + \varepsilon)b_n


Copyright © 2020 Alexander Mayorov. All rights reserved.