Интегрирование по частям в определённом интеграле

Содержание

  1. Вывод
  2. Формула
  3. Пример

Вывод

Пусть u(x)u(x), v(x)v(x) непрерывны на [a,b][a, b]. d(uv)=vdu+udvudv=d(uv)vduabudv=abd(uv)abvdu==(uv)ababvdud(uv) = vdu + udv \\ udv = d(uv) - vdu \\ \int_a^b{udv} = \int_a^b{d(uv)} - \int_a^b{vdu} = \\ = (uv) \Big|_a^b - \int_a^b{vdu}

Формула

abudv=uvababvdu\int_a^b{udv} = uv \Big|_a^b - \int_a^b{vdu}

Пример

0π2xsinxdx=[u=xdu=dxdv=sinxdxv=cosx]==xcosx0π20π2cosxdx==π2cosπ2+0cos0+sinx0π2==sinπ2sin0=1\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{x \sin{x} dx} = \left[ \begin{array}{ll} u = x & du = dx \\ dv = \sin x dx & v = -\cos x \end{array} \right] = \\ = -x \cos{x} \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos{x} dx} = \\ = -\frac{\pi}{2} \cos{\frac{\pi}{2}} + 0\cos{0} + \sin{x} \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = \\ = \sin{\frac{\pi}{2}} - \sin{0} = 1

Copyright © 2019 — 2023 Alexander Mayorov. All rights reserved.