Интегрирование по частям в определённом интеграле

Содержание

1. Вывод
2. Формула
3. Пример

Вывод

Пусть $u(x)$, $v(x)$ непрерывны на $[a, b]$. $d(uv) = vdu + udv \\ udv = d(uv) - vdu \\ \int_a^b{udv} = \int_a^b{d(uv)} - \int_a^b{vdu} = \\ = (uv) \Big|_a^b - \int_a^b{vdu}$

Формула

$\int_a^b{udv} = uv \Big|_a^b - \int_a^b{vdu}$

Пример

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{x \sin{x} dx} = \left[ \begin{array}{ll} u = x & du = dx \\ dv = \sin x dx & v = -\cos x \end{array} \right] = \\ = -x \cos{x} \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos{x} dx} = \\ = -\frac{\pi}{2} \cos{\frac{\pi}{2}} + 0\cos{0} + \sin{x} \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = \\ = \sin{\frac{\pi}{2}} - \sin{0} = 1$