Формула Ньютона-Лейбница

Содержание

1. Формула
2. Доказательство
3. Пример

Формула

$\int_{a}^{b}{f(x) dx} = F(b) - F(a)$

$F(x)$ - первообразная от $f(x)$.

Доказательство

Поскольку $F(x)$ - первообразная $f(x)$, $F'(x) = f(x)$.

Рассмотрим определённый интеграл как функцию верхнего предела. $\Phi'(x) = \Big( \int_a^x{f(t) dt} \Big)' = f(x)$

Значит, $\Phi(x)$ - тоже первообразная $f(x)$, то есть $\Phi(x) = F(x) + C$.

Следовательно: $\int_a^x{f(t) dt} = F(x) + C$

Пусть $x = a$: $\int_a^a{f(t) dt} = F(a) + C$

Поскольку определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен 0 мы можем показать, что: $C = -F(a)$

Следовательно: $\int_a^x{f(t) dt} = F(x) - F(a)$

То есть, если $x = b$, формула примет следующий вид. $\int_a^b{f(t) dt} = F(b) - F(a)$

Или как в определении формулы: $\int_a^b{f(x) dx} = F(b) - F(a)$

Пример

$\int_0^3{xdx} = \frac{1}{2}(3^2 - 0^2) = \frac{9}{2}$