Формула Ньютона-Лейбница

Содержание

  1. Формула
  2. Доказательство
  3. Пример

Формула

\int_{a}^{b}{f(x) dx} = F(b) - F(a)

F(x) - первообразная от f(x).

Доказательство

Поскольку F(x) - первообразная f(x), F'(x) = f(x).

Рассмотрим определённый интеграл как функцию верхнего предела.

\Phi'(x) = \Big( \int_a^x{f(t) dt} \Big)' = f(x)

Значит, \Phi(x) - тоже первообразная f(x), то есть \Phi(x) = F(x) + C.

Следовательно:

\int_a^x{f(t) dt} = F(x) + C

Пусть x = a:

\int_a^a{f(t) dt} = F(a) + C

Поскольку определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен 0 мы можем показать, что:

C = -F(a)

Следовательно:

\int_a^x{f(t) dt} = F(x) - F(a)

То есть, если x = b, формула примет следующий вид.

\int_a^b{f(t) dt} = F(b) - F(a)

Или как в определении формулы:

\int_a^b{f(x) dx} = F(b) - F(a)

Пример

\int_0^3{xdx} = \frac{1}{2}(3^2 - 0^2) = \frac{9}{2}

Copyright © 2019 Александр Майоров. Все права защищены.