Содержание
- Формула
- Доказательство
- Пример
Формула
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)F(x) - первообразная от f(x).
Доказательство
Поскольку F(x) - первообразная f(x), F′(x)=f(x).
Рассмотрим определённый интеграл как функцию верхнего предела. Φ′(x)=(∫axf(t)dt)′=f(x)
Значит, Φ(x) - тоже первообразная f(x), то есть Φ(x)=F(x)+C.
Следовательно: ∫axf(t)dt=F(x)+C
Пусть x=a: ∫aaf(t)dt=F(a)+C
Поскольку определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен 0 мы можем показать, что: C=−F(a)
Следовательно: ∫axf(t)dt=F(x)−F(a)
То есть, если x=b, формула примет следующий вид. ∫abf(t)dt=F(b)−F(a)
Или как в определении формулы: ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
Пример
∫03xdx=21(32−02)=29