Определённый интеграл как функция верхнего предела

Содержание

  1. Определение
  2. Теорема
  3. Доказательство

Определение

Рассмотрим функцию \Phi(x).

\Phi(x) = \int_{a}^{x}{f(t)dt}

Промежуток [a, x] находится внутри промежутка [a, b].

Теорема

\Phi'(x) = \Big(\int_a^x{f(t) dt}\Big)' = f(x)

Доказательство

Пусть x получило приращение \Delta x.

Тогда \Phi(x) пусть получило приращение \Delta \Phi.

\Delta \Phi = \Phi(x + \Delta x) - \Phi (x) = \\
= \int_a^{x+\Delta x}{f(t) dt} - \int_a^x{f(t) dt} = \\
= \int_a^x{f(t) dt} + \int_x^{x + \Delta x}{f(t) dt} - \int_a^x{f(t) dt} = \\
= \int_x^{x + \Delta x}{f(t) dt}

По теореме о среднем:

\int_x^{x + \Delta x}{f(t) dt} = f(\xi)(x + \Delta x - x) = f(\xi)\Delta x

То есть:

\Delta \Phi = f(\xi)\Delta x

Точка \xi \in [x, x + \Delta x]

\Phi'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta \Phi}{\Delta x}} =
\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(\xi) \Delta x}{\Delta x}}

Поскольку \Delta x \to 0 \Rightarrow \xi \to x

\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(\xi) \Delta x}{\Delta x}} =
\lim_{\xi \to x}{f(\xi)} = f(x)

Следовательно:

\Phi'(x) = \Big(\int_a^x{f(t) dt} \Big)' = f(x)

Теорема доказана.


Copyright © 2019 Александр Майоров. Все права защищены.