Определённый интеграл как функция верхнего предела

Содержание

1. Определение
2. Теорема
3. Доказательство

Определение

Рассмотрим функцию $\Psi(x)$. $\Psi(x) = \int_{a}^{x}{f(t)dt}$

Промежуток $[a, x]$ находится внутри промежутка $[a, b]$.

Теорема

$\Psi'(x) = \Big(\int_a^x{f(t) dt}\Big)' = f(x)$

Доказательство

Пусть $x$ получило приращение $\Delta x$.

Тогда $\Psi(x)$ пусть получило приращение $\Delta \Psi$. $\Delta \Psi = \Psi(x + \Delta x) - \Psi (x) = \\ = \int_a^{x+\Delta x}{f(t) dt} - \int_a^x{f(t) dt} = \\ = \int_a^x{f(t) dt} + \int_x^{x + \Delta x}{f(t) dt} - \int_a^x{f(t) dt} = \\ = \int_x^{x + \Delta x}{f(t) dt}$

По теореме о среднем: $\int_x^{x + \Delta x}{f(t) dt} = f(\xi)(x + \Delta x - x) = f(\xi)\Delta x$

То есть: $\Delta \Psi = f(\xi)\Delta x$

Точка $\xi \in [x, x + \Delta x]$ $\Psi'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta \Psi}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(\xi) \Delta x}{\Delta x}}$

Поскольку $\Delta x \to 0 \Rightarrow \xi \to x$ $\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(\xi) \Delta x}{\Delta x}} = \lim_{\xi \to x}{f(\xi)} = f(x)$

Следовательно: $\Psi'(x) = \Big(\int_a^x{f(t) dt} \Big)' = f(x)$

Теорема доказана.