Содержание
- Числовой ряд
- Частичная сумма ряда
- Гармонический ряд
- Простейшие ряды
- Единичный ряд
- Знакочередующийся единичный ряд
- Геометрический ряд
- Сходимость
- Доказательство
- Свойства сходящихся рядов
- Умножение на число
- Сумма общих членов
- Принцип отбрасывания
- Доказательство
- Необходимое условие сходимости ряда
- Достаточное условие расходимости ряда
- Пример
Числовой ряд
Пусть a1,a2,…,an,… - последовательность чисел.
Тогда сумма a1+a2+⋯+an+… называется числовым рядом, где a1,a2,… называются членами ряда, а an - общий член ряда.
Ряд считается заданным, если определён общий член ряда как функция его номера n: an=f(n).
Ряд обозначается: n=1∑∞an=n=1∑∞f(n)
Частичная сумма ряда
n-ой частичной суммой ряда называется сумма первых n членов ряда.
Построим последовательность частичных сумм ряда. S1=a1S2=a1+a2S3=a1+a2+a3⋯Sn=a1+a2+a3+⋯+an
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм при n→∞, то ряд an называется сходящимся.
Если предел бесконечный или не существует, ряд называется расходящимся.
Если ряд сходится, то он сходится к сумме ряда S: n=1∑∞an=S
Гармонический ряд
Гармоническим называется ряд: n=1∑∞n1=1+21+31+⋯+n1+…
Этот ряд расходится.
Простейшие ряды
Единичный ряд
Рассмотрим ряд 1+1+1+….
Построим последовательность частичных сумм: S1=1S2=2S3=3…Sn=n n→∞limSn=n→∞limn=∞
Следовательно, ряд расходится.
Знакочередующийся единичный ряд
Рассмотрим ряд 1−1+1−1+⋯+1−….
Построим последовательность частичных сумм: S1=1S2=0S3=1S4=0…
Предел Sn не существует, следовательно ряд расходится.
Геометрический ряд
Геометрический ряд представляет собой ряд, похожий на геометрическую прогрессию. n=0∑∞aqn=a+aq+aq2+⋯+aqn+…
Сходимость
n=0∑∞aqnЭтот ряд сходится, если ∣q∣<1.
Этот ряд расходится, если ∣q∣≥1.
Доказательство
Sn=1−qb1(1−qn)=1−qa(1−qn)Рассмотрим 3 случая:
Пусть ∣q∣<1. Тогда qn→0 при n→∞. Следовательно: n→∞lim1−qa(1−qn)=n→∞lim1−qa
Получили конечное число, значит ряд сходится.
Пусть ∣q∣>1. Тогда qn→∞ при n→∞. Следовательно: n→∞lim1−qa(1−qn)=∞
Получили бесконечность, значит ряд расходится.
Пусть ∣q∣=1. Тогда мы получаем ряд a+a+a+….
Этот ряд расходится, так как предел последовательности частичных сумм равен ∞ (см пример).
Свойства сходящихся рядов
Умножение на число
Если ряд умножить на число, не равное 0, его сходимость не изменится. n=1∑∞kan=kn=1∑∞an
Сумма общих членов
Пусть ряд an сходится к сумме A и ряд bn сходится к сумме B (A и B - конечные числа). n=1∑∞an=An=1∑∞bn=B
Тогда ряд, составленный из суммы общих членов сходится к A+B: n=1∑∞(an+bn)=n=1∑∞an+n=1∑∞bn=A+B
Принцип отбрасывания
Рассмотрим следующий ряд: n=1∑∞an=a1+a2+a3+⋯+an+…
Мы можем отбросить определённое количество первых слагаемых ряда: n=k+1∑∞an=ak+1+ak+2+⋯+an+…
Получившийся ряд называется k-ым остатком ряда.
k-ый остаток ряда и сам ряд имеют одинаковую сходимость.
Доказательство
Пусть ρn - n-ая частичная сумма остатка ряда. ρn=ak+1+ak+2+⋯+ak+n=Sk+n−Sk
(Sk+n - частичная сумма исходного ряда).
По условию ряд an сходится, а значит предел частичной суммы исходного ряда равен конечному числу S: n→∞limSk+n=S
Тогда: n→∞limρn=n→∞lim(Sk+n−Sk)=S−Sk
S и Sk - конечные числа, значит ряд сходится.
Необходимое условие сходимости ряда
Если ряд сходится, то an→0 при n→∞, то есть limn→∞an=0.
Это не является достаточным условием сходимости ряда, то есть нельзя сказать, что если общий член стремится к нулю, то ряд сходится.
Достаточное условие расходимости ряда
Если общий член не стремится к 0, ряд расходится.
Пример
Рассмотрим следующий ряд: n=0∑∞2n+12n+3 n→∞liman=n→∞lim2n+12n+3=[∞∞]=n→∞lim22=1=0
Следовательно, ряд расходится.