Интегрирование по частям

Содержание

  1. Формула
  2. Как получилась эта формула?
  3. Интегралы, берущиеся по частям
    1. 1 род
    2. 2 род
  4. Примеры
    1. Пример 1
    2. Пример 2
    3. Пример 3

Формула

\int udv = uv - \int vdu

Как получилась эта формула?

Рассмотрим следующий дифференциал: d(uv)

Как известно, d(uv) = vdu + udv (производная произведения, записанная с помощью дифференциалов).

Проинтегрируем: \int d(uv) = \int vdu + \int udv

По 1 свойству \int d(uv) = uv

Следовательно, \int udv = uv - \int vdu

Интегралы, берущиеся по частям

1 род

\int{P(x)\sin{\beta x} dx}
\int{P(x)\cos{\beta x} dx}
\int{P(x)a^{\beta x} dx}
\int{P(x)e^{\beta x} dx}

В данных интегралах за u нужно брать многочлен P(x), а в качестве dv нужно брать всё остальное, то есть функцию и dx.

2 род

\int{arcsin{x} P(x) dx}
\int{arctg{x} P(x) dx}
\int{\log_a{x} P(x) dx}
\int{\ln(x)^n P(x) dx}

В данных интегралах за dv следует брать многочлен P(x) dx, а в качестве u нужно брать функцию.

Примеры

Пример 1

Решим интеграл \int{x 3^x dx}.

\int{x 3^x dx} = \left[ \begin{array}{ll} u=x & du = dx \\ dv = 3^{x}dx & v=\frac{3^x}{\ln{3}} \end{array} \right] = \frac{x 3^x}{\ln{3}} - \int{\frac{3^x}{\ln{3}} dx} = \frac{x 3^x}{\ln{3}} - \frac{3^x}{(\ln{3})^2} + C

Пример 2

Решим интеграл \int{\ln{x} dx}

\int{\ln{x} dx} = \left[ \begin{array}{ll} u=\ln{x} & du = \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v=x \end{array} \right] = x \ln{x} - \int{\frac{xdx}{x}} = x \ln{x} - x + C

Пример 3

Решим интеграл \int{\frac{x^3+2x^2+3x+3}{x^4} e^{-x} dx}

Разложим на сумму интегралов.

\int{\frac{x^3+2x^2+3x+3}{x^4} e^{-x} dx} = 
\int{\frac{e^{-x}}{x}dx} +
2 \int{\frac{e^{-x}}{x^2} dx} +
3 \int{\frac{e^{-x}}{x^3} dx} +
3 \int{\frac{e^{-x}}{x^4} dx}

Интегрируем первый интеграл в получившейся сумме по частям.

\int{\frac{e^{-x}}{x} dx} = \left[ \begin{array}{ll} u=\frac{1}{x} & du = - \frac{dx}{x^2} \\ dv = e^{-x} dx & v=-e^{-x} \end{array} \right] =
-\frac{e^{-x}}{x} - \int{\frac{e^{-x}}{x^2} dx}

Замечаем, что получившийся интеграл совпадает со вторым слагаемым в разложении исходного интеграла на сумму.

Берём этот интеграл по частям ещё раз.

\int{\frac{e^{-x}}{x^2} dx} = \left[ \begin{array}{ll} u=\frac{1}{x^2} & du = - \frac{2}{x^3}dx \\ dv = e^{-x} dx & v=-e^{-x} \end{array} \right] =
-\frac{e^{-x}}{x^2} - 2\int{\frac{e^{-x}}{x^3} dx}

Опять же, получившийся интеграл совпадает с третьим слагаемым в разложении исходного интеграла на сумму.

Берём этот интеграл по частям ещё раз.

\int{\frac{e^{-x}}{x^3} dx} = \left[ \begin{array}{ll} u=\frac{1}{x^3} & du = - \frac{3}{x^4}dx \\ dv = e^{-x} dx & v=-e^{-x} \end{array} \right] =
-\frac{e^{-x}}{x^3} - 3\int{\frac{e^{-x}}{x^4} dx}

Мы видим, что чем дальше мы интегрируем по частям, тем больше растёт степень x.

Получившийся интеграл также совпадает с последним слагаемым в разложении исходного интеграла на сумму.

Обозначим буквой I следующий интеграл:

I = \int{\frac{e^{-x}}{x^4} dx}

Тогда:

\int{\frac{e^{-x}}{x^3} dx} =
-\frac{e^{-x}}{x^3} - 3I
\int{\frac{e^{-x}}{x^2} dx} =
-\frac{e^{-x}}{x^2} - 2(-\frac{e^{-x}}{x^3} - 3I) =
-\frac{e^{-x}}{x^2} + \frac{2e^{-x}}{x^3} + 6I
\int{\frac{e^{-x}}{x} dx} =
-\frac{e^{-x}}{x}
-(-\frac{e^{-x}}{x^2} + \frac{2e^{-x}}{x^3} + 6I) =
-\frac{e^{-x}}{x} + \frac{e^{-x}}{x^2} - 2\frac{e^{-x}}{x^3} - 6I

Вернёмся к исходному интегралу.

\int{\frac{x^3+2x^2+3x+3}{x^4} e^{-x} dx} = \\
-\frac{e^{-x}}{x} + \frac{e^{-x}}{x^2} - 2\frac{e^{-x}}{x^3} - 6I
+ 2(-\frac{e^{-x}}{x^2} + 2\frac{e^{-x}}{x^3} + 6I)
+ 3(-\frac{e^{-x}}{x^3} - 3I) + 3I

Упрощаем полученное выражение - при этом все I сокращаются.

Таким образом, получаем ответ:

\int{\frac{x^3+2x^2+3x+3}{x^4} e^{-x} dx} =
-\frac{e^{-x}}{x} - \frac{e^{-x}}{x^2} - \frac{e^{-x}}{x^3} + C

Copyright © 2019 Александр Майоров. Все права защищены.