Определённый интеграл

Содержание

1. Интегральная сумма
2. Определение
3. Геометрический смысл
4. Свойства
   1. Вынесение константы
      1. Доказательство
   2. Интеграл суммы
      1. Доказательство
   3. Сравнение функций
      1. Доказательство
   4. Описанный прямоугольник
      1. Доказательство
      2. Геометрический смысл
   5. Теорема о среднем
      1. Геометрический смысл
   6. Смена пределов интегрирования
   7. Одинаковые пределы интегрирования
   8. Разбиение на части

Интегральная сумма

Рассмотрим функцию $f(x)$, которая непрерывна на $[a, b]$.

Разобъём промежуток $[a,b]$ на участки $\Delta x_i$ произвольным образом.

Длина одного участка: $\Delta x_i = x_{i+1} - x_i$

В каждом таком участке произвольным образом возьмём точку $\xi_i$, то есть $\xi_i \in [x_i, x_{i+1}]$.

Составим интегральную сумму. $S_n = \sum_{i=0}^{n-1}{f(\xi_i) \Delta x_i}$

При этом $0 \le i \le n-1$, обозначим $\max{\Delta x_i} = \lambda$.

Определение

Если существует предел последовательности интегральных сумм $S_n$, не зависящих от способа разбиения и не зависящих от выбора точек внутри частичных промежутков, то этот предел называется определённым интегралом и обозначается: $\int_{a}^{b}{f(x) dx} = \lim_{ n \to \infin, \lambda \to 0 } \sum_{i=0}^{n-1}{f(\xi_i) \Delta x_i}$

Геометрический смысл

Пусть $f(x) \ge 0 \forall x \in [a, b]$

Тогда интегральная сумма будет равна площади ступенчатой фигуры. $S_n = \sum_{i=0}^{n-1}{f(\xi_i) \Delta x_i} = S_{ступен. фигуры}$

При $n \to \infty$ получится площадь криволинейной фигуры (криволинейной трапеции). $n \to \infty, \lambda \to 0 \Rightarrow S_{ступен. фигуры} \to S_{крив. трапец.}$ $\int_{a}^{b}{f(x) dx} = S_{крив. трапец.}$

Таким образом, определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции.

Свойства

Вынесение константы

$\int_{a}^{b}{A f(x) dx} = A \int_{a}^{b}{f(x) dx}$

Доказательство

$\int_{a}^{b}{A f(x) dx} = \lim_{n \to \infty, \lambda \to 0}{ \sum_{i=0}^{n-1}{A f(\xi_i) \Delta x_i} } = \\ = A \lim_{n \to \infty, \lambda \to 0}{ \sum_{i=0}^{n-1}{f(\xi_i) \Delta x_i} } = A \int_{a}^{b}{f(x) dx}$

Интеграл суммы

$\int_{a}^{b}{(f_1(x) + f_2(x)) dx} = \int_{a}^{b}{f_1(x) dx} + \int_{a}^{b}{f_2(x) dx}$

Доказательство

Доказательство аналогично доказательству предыдущего свойства.

Сравнение функций

Пусть $f(x), g(x)$ на $[a,b]$ удовлетворяют неравенству $f(x) \le g(x)$.

Тогда: $\int_{a}^{b}{f(x) dx} \le \int_{a}^{b}{g(x) dx}$

Доказательство

Рассмотрим $f(x) - g(x)$ на $[a,b]$: $f(x) - g(x) \ge 0$

Тогда: $\int_{a}^{b}{(g(x) - f(x)) dx} = S_{крив. трапец.} \ge 0 \\ \Rightarrow \int_{a}^{b}{(g(x) - f(x)) dx} \ge 0$

По второму свойству: $\int_{a}^{b}{g(x) dx} - \int_{a}^{b}{f(x) dx} \ge 0$

То есть: $\int_{a}^{b}{g(x) dx} \ge \int_{a}^{b}{f(x) dx}$

Описанный прямоугольник

Путь $m$, $M$ - соответственно наименьшее и наибольшее значение $f(x)$ на $[a, b]$

Тогда: $m(b - a) \le \int_{a}^{b}{f(x) dx} \le M(b-a)$

Доказательство

Поскольку $m \le f(x) \le M$, $\int_{a}^{b}{mdx} \le \int_{a}^{b}{f(x) dx} \le \int_{a}^{b}{Mdx}$. $m \int_{a}^{b}{dx} \le \int_{a}^{b}{f(x) dx} \le M \int_{a}^{b}{dx}$ $\int_{a}^{b}{dx} = b - a$

Свойство доказано.

Геометрический смысл

$S_{aADb} \le S_{ABab} \le S_{ACBb}$

Теорема о среднем

На промежутке $[a,b]$ найдётся хотя-бы одна точка $\xi$ такая, что интеграл равен $(b-a)f(\xi)$. $\int_{a}^{b}{f(x) dx} = (b-a)f(\xi), \xi \in [a, b]$

Геометрический смысл

На данном графике красные заштрихованные площади равны и компенсируют друг друга (точка $\xi$ совершенно не обязательно находится посередине между $a$ и $b$).

Смена пределов интегрирования

$\int_{a}^{b}{f(x) dx} = - \int_{b}^{a}{f(x) dx}$

Одинаковые пределы интегрирования

$\int_{a}^{a}{f(x) dx} = 0$

Разбиение на части

Для любых $a, b, c$ справедливо следующее: $\int_{a}^{b}{f(x) dx} = \int_{a}^{c}{f(x) dx} + \int_{c}^{b}{f(x) dx}$