Замена переменной в определённом интеграле

Содержание

  1. Определение
  2. Пример

Определение

Рассмотрим интеграл

\int_a^b{f(x) dx}

f(x) непрерывна на [a, b].

Введём новую переменную t, которая связана с x через: x = \varphi(t).

Пусть выполняются следующие условия:

  1. \varphi(t) непрерывна на [a, b].
  2. \varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b.
  3. \varphi'(t) непрерывна на [\alpha, \beta].
  4. При изменении t от \alpha до \beta, \varphi(t) принимает все значения из [a, b].

Тогда справедлива следующая формула.

\int_a^b{f(x)dx} = \int_{\alpha}^{\beta}{f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt}

Пример

\int_{2}^{7}{x \sqrt{x+2} dx} = 
\left[ \begin{array}{ll}
x+2=t^2 & x = t^2 - 2 \\
dx = 2tdt \\
x = 2 \Rightarrow t = 2 & x = 7 \Rightarrow t = 3
\end{array} \right] = \\
= 2\int_{2}^{3}{(t^4 - 2t^2) dt} =
2(\frac{3^5}{5} - \frac{2 \times 3^3}{3} - \frac{2^5}{5} + \frac{2 \times 2^3}{3})

Copyright © 2019 Александр Майоров. Все права защищены.