Замена переменной в определённом интеграле
Содержание
- Определение
- Пример
Определение
Рассмотрим интеграл ∫abf(x)dx
f(x) непрерывна на [a,b].
Введём новую переменную t, которая связана с x через: x=φ(t).
Пусть выполняются следующие условия:
- φ(t) непрерывна на [a,b].
- φ(α)=a, φ(β)=b.
- φ′(t) непрерывна на [α,β].
- При изменении t от α до β, φ(t) принимает все значения из [a,b].
Тогда справедлива следующая формула. ∫abf(x)dx=∫αβf(φ(t))φ′(t)dt
Пример
∫27xx+2dx=⎣⎢⎡x+2=t2dx=2tdtx=2⇒t=2x=t2−2x=7⇒t=3⎦⎥⎤==2∫23(t4−2t2)dt=2(535−32×33−525+32×23)