Интегрирование по частям в определённом интеграле

Содержание

  1. Вывод
  2. Формула
  3. Пример

Вывод

Пусть u(x), v(x) непрерывны на [a, b].

d(uv) = vdu + udv \\
udv = d(uv) - vdu \\
\int_a^b{udv} = \int_a^b{d(uv)} - \int_a^b{vdu} = \\
= (uv) \Big|_a^b - \int_a^b{vdu}

Формула

\int_a^b{udv} = uv \Big|_a^b - \int_a^b{vdu}

Пример

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{x \sin{x} dx} = 
\left[ \begin{array}{ll}
u = x & du = dx \\
dv = \sin x dx & v = -\cos x
\end{array} \right] = \\
= -x \cos{x} \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos{x} dx} = \\
= -\frac{\pi}{2} \cos{\frac{\pi}{2}} + 0\cos{0} + \sin{x} \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = \\
= \sin{\frac{\pi}{2}} - \sin{0} = 1

Copyright © 2019 Александр Майоров. Все права защищены.