Несобственный интеграл 2 рода

Содержание

  1. Определение
  2. Геометрический смысл
  3. Эталонный интеграл
    1. Доказательство

Определение

Пусть f(x) непрерывна на [a, c) и терпит бесконечный разрыв в точке c.

Тогда несобственным интегралом 2 рода или интегралом с бесконечной функцией называется предел:

\int_{a}^{c}{f(x) dx} = \lim_{b \to c - 0}{\int_{a}^{b}{f(x) dx}}

Если этот предел существует и конечен, несобственный интеграл называется сходящимся.

Если этот предел не существует или бесконечен, несобственный интеграл называется расходящимся.

Функция может терпеть бесконечный разрыв и в нижнем пределе интегрирования.

\int_{c}^{b}{f(x) dx} = \lim_{a \to c + 0}{\int_a^b{f(x) dx}}

Если точка разрыва c лежит внутри интервала, задаваемого пределами интегрирования, то есть c \in (a, b), такой интеграл нужно разбить на 2 несобственных интеграла 2 рода.

\int_{a}^{b}{f(x) dx} =
\int_{a}^{c}{f(x) dx} + \int_{c}^{b}{f(x) dx}

Этот интеграл сходится тогда, когда оба слагаемых сходятся.

Геометрический смысл

Если f(x) \ge 0 \space \forall x \in [a, c] то несобственный интеграл равен площади бесконечной криволинейной трапеции:

\int_a^c{f(x) dx} = S_{беск.крив.трапец.}

Эталонный интеграл

Рассмотрим следующий интеграл

\int_a^c{\frac{dx}{(x-c)^m}}

Он сходится, если m < 1.

Он расходится, если m \ge 1.

Доказательство

Пусть m = 1. Тогда:

\int_a^c{\frac{dx}{x - c}} = \ln{|x - c|}\Big|_a^c =
\lim_{x \to c + 0}{\ln |x - c|} - \ln |a - c| = \infty

Таким образом, при m = 1 интеграл расходится.

Пусть m > 1. Тогда:

\int_a^c{\frac{dx}{(x - c)^m}} =
\frac{(x-c)^{-m + 1}}{-m + 1} \Bigg|_a^c = \frac{1}{(-m + 1)(x-c)^{m - 1}} \Bigg|_a^c = \infty

Получили бесконечность, следовательно, при m > 1 интеграл расходится.

Пусть m < 1. Тогда:

\int_a^c{\frac{dx}{(x - c)^m}} =
\frac{(x-c)^{-m + 1}}{-m + 1} \Bigg|_a^c =
0 - \frac{(a - c)^{-m + 1}}{-m + 1} = D, D = const

Поличили конечное число, следовательно при m < 1 интеграл сходится.

Сходимость эталонного интеграла доказана.


Copyright © 2019 Александр Майоров. Все права защищены.