Несобственный интеграл 1 рода

Содержание

  1. Определение
  2. Геометрический смысл
  3. Эталонный интеграл
    1. Доказательство

Определение

Пусть f(x) непрерывна на [a, \infty).

Тогда несобственным интегралом 1 рода или интегралом с бесконечными пределами интегрирования называется предел:

\int_{a}^{\infty}{f(x) dx} = \lim_{b \to \infty}{\int_{a}^{b}{f(x) dx}}

Если этот предел существует и конечен, несобственный интеграл называется сходящимся.

Если этот предел не существует или бесконечен, несобственный интеграл называется расходящимся.

\int_a^{\infty}{f(x) dx} = F(x) \Big|_a^{\infty} = \lim_{x \to \infty}{F(x)} - F(a)

Нижний предел также может быть бесконечным:

\int_{-\infty}^{a}{f(x) dx} = \lim_{b \to -\infty}{\int_a^b{f(x) dx}}

Оба предела интегрирования могут быть бесконечными - тогда необходимо разбить интеграл на 2 несобственных интеграла 1 рода.

\int_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} =
\int_{-\infty}^{c}{f(x) dx} + \int_{c}^{\infty}{f(x) dx}

Этот интеграл сходится тогда, когда оба слагаемых сходятся.

Геометрический смысл

Если f(x) \ge 0 \space \forall x \in [a, \infty) то несобственный интеграл равен площади бесконечной криволинейной трапеции:

\int_a^{\infty}{f(x) dx} = S_{беск.крив.трапец.}

Эталонный интеграл

Рассмотрим следующий интеграл

\int_a^{\infty}{\frac{dx}{x^{\alpha}}}

Он сходится, если \alpha > 1.

Он расходится, если \alpha \le 1.

Доказательство

Пусть \alpha = 1. Тогда:

\int_a^{\infty}{\frac{dx}{x}} = \ln{|x|}\Big|_a^{\infty} =
\lim_{x \to \infty}{\ln |x|} - \ln |a| = \infty

Таким образом, при \alpha = 1 интеграл расходится.

Пусть \alpha > 1. Тогда:

\int_a^{\infty}{\frac{dx}{x^{\alpha}}} =
\int_a^{\infty}{x^{-\alpha} dx} =
\frac{x^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} \Bigg|_a^{\infty} = \\
= \frac{1}{(-\alpha + 1)x^{\alpha - 1}} \Bigg|_a^{\infty} =
0 - \frac{1}{(-\alpha + 1)a^{\alpha - 1}} = - \frac{1}{(-\alpha + 1)a^{\alpha - 1}}

Получили конечное число, следовательно, при \alpha > 1 интеграл сходится.

Пусть \alpha < 1. Тогда:

\int_a^{\infty}{\frac{dx}{x^{\alpha}}} =
\int_a^{\infty}{x^{-\alpha} dx} =
\frac{x^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} \Bigg|_a^{\infty} = \\
= \infty - \frac{a^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} = \infty

Поличили бесконечность, следовательно при \alpha < 1 интеграл расходится.

Сходимость эталонного интеграла доказана.


Copyright © 2019 Александр Майоров. Все права защищены.