Несобственный интеграл 1 рода

Содержание

  1. Определение
  2. Геометрический смысл
  3. Эталонный интеграл
    1. Доказательство

Определение

Пусть f(x)f(x) непрерывна на [a,)[a, \infty).

Тогда несобственным интегралом 1 рода или интегралом с бесконечными пределами интегрирования называется предел: af(x)dx=limbabf(x)dx\int_{a}^{\infty}{f(x) dx} = \lim_{b \to \infty}{\int_{a}^{b}{f(x) dx}}

Если этот предел существует и конечен, несобственный интеграл называется сходящимся.

Если этот предел не существует или бесконечен, несобственный интеграл называется расходящимся. af(x)dx=F(x)a=limxF(x)F(a)\int_a^{\infty}{f(x) dx} = F(x) \Big|_a^{\infty} = \lim_{x \to \infty}{F(x)} - F(a)

Нижний предел также может быть бесконечным: af(x)dx=limbabf(x)dx\int_{-\infty}^{a}{f(x) dx} = \lim_{b \to -\infty}{\int_a^b{f(x) dx}}

Оба предела интегрирования могут быть бесконечными - тогда необходимо разбить интеграл на 2 несобственных интеграла 1 рода. f(x)dx=cf(x)dx+cf(x)dx\int_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} = \int_{-\infty}^{c}{f(x) dx} + \int_{c}^{\infty}{f(x) dx}

Этот интеграл сходится тогда, когда оба слагаемых сходятся.

Геометрический смысл

Если f(x)0 x[a,)f(x) \ge 0 \space \forall x \in [a, \infty) то несобственный интеграл равен площади бесконечной криволинейной трапеции: af(x)dx=Sбеск.крив.трапец.\int_a^{\infty}{f(x) dx} = S_{беск.крив.трапец.}

Геометрический смысл интеграла с бесконечными пределами интегрирования

Эталонный интеграл

Рассмотрим следующий интеграл adxxα\int_a^{\infty}{\frac{dx}{x^{\alpha}}}

Он сходится, если α>1\alpha > 1.

Он расходится, если α1\alpha \le 1.

Доказательство

Пусть α=1\alpha = 1. Тогда: adxx=lnxa=limxlnxlna=\int_a^{\infty}{\frac{dx}{x}} = \ln{|x|}\Big|_a^{\infty} = \lim_{x \to \infty}{\ln |x|} - \ln |a| = \infty

Таким образом, при α=1\alpha = 1 интеграл расходится.

Пусть α>1\alpha > 1. Тогда: adxxα=axαdx=xα+1α+1a==1(α+1)xα1a=01(α+1)aα1=1(α+1)aα1\int_a^{\infty}{\frac{dx}{x^{\alpha}}} = \int_a^{\infty}{x^{-\alpha} dx} = \frac{x^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} \Bigg|_a^{\infty} = \\ = \frac{1}{(-\alpha + 1)x^{\alpha - 1}} \Bigg|_a^{\infty} = 0 - \frac{1}{(-\alpha + 1)a^{\alpha - 1}} = - \frac{1}{(-\alpha + 1)a^{\alpha - 1}}

Получили конечное число, следовательно, при α>1\alpha > 1 интеграл сходится.

Пусть α<1\alpha < 1. Тогда: adxxα=axαdx=xα+1α+1a==aα+1α+1=\int_a^{\infty}{\frac{dx}{x^{\alpha}}} = \int_a^{\infty}{x^{-\alpha} dx} = \frac{x^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} \Bigg|_a^{\infty} = \\ = \infty - \frac{a^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} = \infty

Поличили бесконечность, следовательно при α<1\alpha < 1 интеграл расходится.

Сходимость эталонного интеграла доказана.


Copyright © 2019 — 2023 Alexander Mayorov. All rights reserved.