Содержание
- Первообразная
- Определение
- Свойства
- Свойство 1
- Доказательство
- Свойство 2
- Доказательство
- Линейное свойство
Первообразная
F(x) называется первообразной для f(x) на множестве X, если ∀x∈X F′(x)=f(x)
Если F(x) - первообразная функции f(x), то любая функция F(x)+C, где C=const также является первообразной.
Множество первообразных исчерпывается функциями вида F(x)+C, то есть первообразных у функции бесконечно много с точностью до константы.
Если F1(x) и F2(x) - первообразные f(x), тогда F1(x)−F2(x)=C=const.
Определение
Неопределённым интегралом функции f(x) называют совокупность всех её первообразных. ∫f(x)dx=F(x)+C
f(x)dx - подынтегральное выражение.
f(x) - подынтегральная функция.
Свойства
Свойство 1
∫dF(x)=F(x)+Cгде dF(x) - дифференциал функции.
Формула для нахождения дифференциала: dg(x)=g′(x)dx dg(u)=dg(u(x))=g′(u)ux′dx=g′(u)du
Доказательство
∫dF(x)=∫F′(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+CСвойство доказано.
Свойство 2
d∫f(x)dx=f(x)dxДоказательство
d∫f(x)dx=d(F(x)+C)=(F(x)+C)′dx=(F′(x)+C′)dx C′=0⇒(F′(x)+C′)dx=F′(x)dx=f(x)dxЛинейное свойство
Константу c можно выносить за знак интеграла. ∫cf(x)dx=c∫f(x)dx
Интеграл от суммы равен сумме интегралов. ∫(f1(x)+f2(x))dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx