Неопределённый интеграл

Содержание

  1. Первообразная
  2. Определение
  3. Свойства
    1. Свойство 1
      1. Доказательство
    2. Свойство 2
      1. Доказательство
    3. Линейное свойство

Первообразная

F(x) называется первообразной для f(x) на множестве X, если \forall x \in X \space F'(x) = f(x)

Если F(x) - первообразная функции f(x), то любая функция F(x) + C, где C = const также является первообразной.

Множество первообразных исчерпывается функциями вида F(x) + C, то есть первообразных у функции бесконечно много с точностью до константы.

Если F_1(x) и F_2(x) - первообразные f(x), тогда F_1(x) - F_2(x) = C = const.

Определение

Неопределённым интегралом функции f(x) называют совокупность всех её первообразных.

\int f(x)dx = F(x) + C

f(x)dx - подынтегральное выражение.

f(x) - подынтегральная функция.

Свойства

Свойство 1

\int dF(x) = F(x) + C

где dF(x) - дифференциал функции.

Формула для нахождения дифференциала:

dg(x) = g'(x)dx
dg(u) = dg(u(x)) = g'(u)u_x'dx = g'(u)du

Доказательство

\int dF(x) = \int F'(x)dx = \int f(x)dx = F(x) + C

Свойство доказано.

Свойство 2

d \int f(x)dx = f(x)dx

Доказательство

d \int f(x)dx = d(F(x) + C) = (F(x) + C)'dx = (F'(x) + C')dx
C' = 0 \Rightarrow (F'(x) + C')dx = F'(x)dx = f(x)dx

Линейное свойство

Константу c можно выносить за знак интеграла.

\int cf(x)dx = c \int f(x)dx

Интеграл от суммы равен сумме интегралов.

\int (f_1(x) + f_2(x))dx = \int f_1(x)dx + \int f_2(x)dx

Copyright © 2019 Александр Майоров. Все права защищены.