Сводка определений

Содержание

  1. Функция
  2. Точная верхняя и нижняя границы
  3. Предел функции по Коши
  4. Предел функции по Гейне
  5. Предел последовательности
  6. Бесконечно малые функции
  7. Бесконечно большие функции
  8. Эквивалентные функции
  9. Функции одного порядка
  10. Непрерывная функция
  11. Производная
  12. Дифференциал
  13. Касательная

Функция

Пусть даны два множества: X и Y.

Функцией f называется любое правило, которое каждому элементу множества X ставит в соответствие некоторый элемент множества Y.

Точная верхняя и нижняя границы

Число M называется верхней границей множества A, если:

\forall x \in A : x \le M

Число M называется точной верхней границей множества A, если оно является наименьшей из верхних границ:

\sup{A} = \min{M}

Точная верхняя граница называется супремумом (супремум).

Число m называется нижней границей множества A, если:

\forall x \in A : x \ge m

Число m называется точной нижней границей множества A, если оно является наибольшей из нижних границ:

\inf{A} = \max{m}

Точная верхняя граница называется инфимумом (инфимум).

Предел функции по Коши

Число A называется пределом функции f(x) в точке x_0, то есть при x \to x_0 (x стремящемся к x_0), если для любого \varepsilon \ge 0 существует \delta_{\varepsilon} \ge 0, зависящая от \varepsilon такая, что для любого x \in X, такого что 0 \le |x - x_0| \le \delta_{\varepsilon}, выполняется неравенство |f(x) - A| \le \varepsilon.

\lim_{x \to x_0}{f(x)} = A \Leftrightarrow 
\forall \varepsilon > 0 \space \exists \delta_{\varepsilon} > 0 : \forall x \in X : 0 < |x - x_0| < \delta_{\varepsilon} \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon

Предел функции по Гейне

Число A называется пределом функции f(x) в точке x_0, если для любой последовательности \{x_n\}_{n = 1}^{\infty}, такой что x_n \ne x_0 для любого n, и последовательность x_n стремится к x_0 при n \to \infty, следует, что и последовательность \{f(x_n)\}_{n=1}^{\infty} стремится к A при n \to \infty.

\lim_{x \to x_0}{f(x)} = A \Leftrightarrow \forall \{x_n\}, x_n \ne 0 : x_n \to x_0, n \to \infty \Rightarrow f(x_n) \to A

Предел последовательности

Число A называется пределом последовательности \{x_n\}_{n=1}^{\infty} если для любого \varepsilon > 0 существует число N, зависящее от \varepsilon, такое что для любого натурального числа n > N будет выполняться неравенство |x_n - A| < \varepsilon.

Бесконечно малые функции

Функция f(x) называется бесконечно малой при x \to x_0 по отношению к функции g(x), если:

\lim_{x \to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}} = 0

Функция f(x) называется бесконечно малой (то есть бесконечно малой по отношению к функции, тождественно равной единице) при x \to x_0, если:

\lim_{x \to x_0}{f(x)} = 0

Бесконечно большие функции

Функция f(x) называется бесконечно большой при x \to x_0 по отношению к функции g(x), если:

\lim_{x \to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \infty

Эквивалентные функции

Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при x \to x_0, если:

\lim_{x \to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}} = 1 \Leftrightarrow f(x) \sim g(x), x \to x_0

Функции одного порядка

Функции f(x) и g(x) называются функциями одного порядка при x \to x_0, если:

\lim_{x \to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}} = M, M \ne 0, M \ne \infty

Непрерывная функция

Функция f(x) называется непрерывной в точке x_0, если для любого \varepsilon > 0 существует \delta_{\varepsilon} > 0, такая что для любого x, если выполняется условие |x - x_0| < \delta_{\varepsilon} то выполняется условие |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon.

\forall \varepsilon > 0 \space \exists \delta_{\varepsilon} : \forall x, |x - x_0| < \delta_{\varepsilon} \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon

Фактически это определение предела, равного f(x_0).

Любая дифференцируемая функция является непрерывной во всех точках. Не всякая непрерывная функция является дифференцируемой во всех точках.

Функция f(x) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в любой точке x_0 множества X.

Производная

Если следующий предел существует, то он называется производной f'(x).

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}}

Дифференциал

Пусть функция f(x) такова, что её приращение в точке x_0 может быть представлено в виде:

\Delta f(x_0) = A \cdot \Delta x + \beta(x_0, \Delta x)

A = A(x_0) - некое число.

Пусть также справедливо, что:

\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\beta(x_0, \Delta x)}{\Delta x}} = 0

Тогда функция f(x) называется дифференцируемой в точке x_0, выражение A \cdot \Delta x называется дифференциалом функции f(x) в точке x_0.

Дифференциал функции - это линейная часть приращения функции.

Касательная

Пусть на кривой выбраны точка M и точка M_1, а также проведена прямая (секущая) M M_1. Если перемещать точку M_1 вдоль по кривой, то прямая M M_1 будет вращаться вокруг точки M. Касательной к кривой в точке M называется предельное положение MT секущей M M_1, когда точка M_1 вдоль по кривой стремится к совпадению с M.

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x_0:

y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)

где y_0 = f(x_0).


Copyright © 2019 Александр Майоров. Все права защищены.